A likelihood ratio measures evidential force by asking how much more expected the observed evidence is under one hypothesis than under a rival.
1The problem it solves
Evidence does not support a hypothesis merely because the evidence is compatible with it. The decisive comparison is contrastive: would the same observation also be expected if the hypothesis were false or a rival were true? The likelihood ratio isolates that comparison.
2The idea
The strength of a piece of evidence is a ratio: how much more probable is this observation under one hypothesis than under its rival? Evidence that is equally expected either way has a ratio near 1 — it is not evidence at all.
3Origin & context
Likelihood-based approaches are associated with figures such as Ian Hacking, A.W.F. Edwards, and Richard Royall. In Bayesian updating the likelihood ratio multiplies prior odds to produce posterior odds, making it the piece of the update contributed by the new evidence rather than by prior belief.
4Canonical example
“The result is consistent with our theory.” Consistent with the rival theory too? Then the likelihood ratio is 1 and you have learned nothing.
5Objections & replies
Objection. The likelihood ratio depends on which alternative hypothesis you choose, so there is no single evidence strength.
Reply. Correct: evidence is inherently contrastive. A datum can strongly favor H over H1 and be neutral between H and H2. The right response is to specify the live alternatives, not pretend evidence has hypothesis-independent force.
Objection. Composite hypotheses and nuisance parameters make likelihood ratios sensitive to modeling choices.
Reply. They do. Methods such as marginalization, profiling, or explicitly specified predictive distributions are ways to handle this, but the philosophical lesson remains: evidence strength cannot be separated from the model of what each hypothesis predicts.
6Don't confuse it with
Likelihood and posterior probability
Likelihood asks how expected the evidence is given a hypothesis. Posterior probability combines that evidence with the prior probability of the hypothesis.
P(data|H) and P(H|data)
The first is a likelihood term; the second is a posterior. Reversing them is the inverse fallacy and is exactly why a striking p-value or test accuracy can be misread.
7Common mistakes
- Calling evidence 'supportive' because it is consistent with H without checking its probability under alternatives.
- Reporting a likelihood ratio against an implausibly weak straw alternative and presenting it as evidence against all rivals.
8In your work
The correct replacement for “is it significant?”. Ask instead how much the observation discriminates between the hypotheses actually on the table.
9Check yourself
A finding had 60% probability under your model and 55% under the main rival. Is “our model predicted the finding” strong evidence?
Show answer
No. The likelihood ratio is about 1.09, barely above neutral. The finding fits your model, but it also fits the rival almost as well, so it discriminates very little.
نسبتِ درستنمایی نیروی شاهد را با این پرسش میسنجد که شاهدِ مشاهدهشده تحتِ یک فرضیه چند برابر بیش از فرضیهٔ رقیب انتظار میرود.
1مسئلهای که حل میکند
شاهد فقط چون با فرضیه سازگار است از آن پشتیبانی نمیکند. مقایسهٔ تعیینکننده تضادی است: آیا همان مشاهده اگر فرضیه کاذب یا رقیب صادق بود نیز انتظار میرفت؟ نسبتِ درستنمایی همین مقایسه را جدا میکند.
2ایدهٔ اصلی
قوّتِ یک شاهد یک نسبت است: این مشاهده تحت یک فرضیه چقدر محتملتر است تا تحت رقیبش؟ شاهدی که در هر دو حالت به یک اندازه انتظار میرود نسبتی نزدیک به ۱ دارد — یعنی اصلاً شاهد نیست.
3خاستگاه و زمینه
رویکردهای مبتنی بر درستنمایی با نامهایی مانند یان هکینگ، ای.دبلیو.اف. ادواردز و ریچارد رویال پیوند دارند. در بهروزرسانیِ بیزی نسبتِ درستنمایی شانسِ پیشین را ضرب میکند تا شانسِ پسین حاصل شود؛ بنابراین سهمِ شاهدِ جدید در بهروزرسانی است، نه سهمِ باورِ پیشین.
4مثالِ کلاسیک
«نتیجه با نظریهٔ ما سازگار است.» با نظریهٔ رقیب هم سازگار است؟ پس نسبتِ درستنمایی ۱ است و چیزی نیاموختهاید.
5اعتراضها و پاسخها
اعتراض. نسبتِ درستنمایی به انتخابِ فرضیهٔ بدیل وابسته است؛ پس نیروی واحدی برای شاهد وجود ندارد.
پاسخ. درست است: شاهد ذاتاً تقابلی است. یک داده میتواند H را شدیداً بر H1 ترجیح دهد و میان H و H2 خنثی باشد. پاسخِ درست مشخصکردنِ بدیلهای زنده است، نه وانمودکردنِ اینکه شاهد نیروی مستقل از فرضیه دارد.
اعتراض. فرضیههای مرکب و پارامترهای مزاحم نسبت را به انتخابِ مدل حساس میکنند.
پاسخ. بله. حاشیهگیری، پروفایلکردن یا توزیعهای پیشبینیِ صریح راههایی برای مدیریتِ آناند، اما درسِ فلسفی باقی است: قدرتِ شاهد را نمیتوان از مدلِ پیشبینیِ هر فرضیه جدا کرد.
6با اینها اشتباه نگیرید
درستنمایی و احتمالِ پسین
درستنمایی میپرسد شاهد با فرضِ یک فرضیه چقدر انتظار میرود. پسین این شاهد را با احتمالِ پیشینِ فرضیه ترکیب میکند.
P(data|H) و P(H|data)
اولی جزءِ درستنمایی و دومی پسین است. جابهجاکردنشان «مغالطهٔ معکوس» است و دقیقاً به همین دلیل مقدارِ p یا دقتِ آزمون میتواند اشتباه تفسیر شود.
7خطاهای رایج
- حمایتی نامیدنِ شاهد فقط چون با H سازگار است بدون بررسیِ احتمالِ آن تحتِ بدیلها.
- گزارشِ نسبتِ درستنمایی علیه بدیلی ضعیف و غیرواقعی و ارائهٔ آن بهعنوان شاهد علیه همهٔ رقبا.
8در کارِ شما
جایگزینِ درستِ «آیا معنادار است؟». بهجای آن بپرسید این مشاهده چقدر میان فرضیههای واقعاً مطرح تمایز میگذارد.
9خودآزمایی
یافتهای تحتِ مدلِ شما ۶۰٪ و تحتِ رقیبِ اصلی ۵۵٪ احتمال داشت. آیا «مدلِ ما یافته را پیشبینی کرد» شاهدِ قوی است؟
نمایش پاسخ
نه. نسبتِ درستنمایی حدود ۱٫۰۹ و تقریباً خنثی است. یافته با مدلِ شما جور است اما با رقیب هم تقریباً همانقدر؛ پس قدرتِ تمایزِ بسیار کمی دارد.